(2,0) Determine se a integral integral0^1 / pi 1x^2 cos (1x) d x é convergente ou divergente.

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a integral convergente ou divergente. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente analisando a convergência de uma integral imprópria, já que o intervalo de integração vai até 0, onde a função pode ter comportamentos estranhos. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0 e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Sabemos que oscila entre -1 e 1, mas cresce sem limite conforme . Isso sugere que a integral pode ter problemas de convergência devido ao termo .

Passo 3

Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da comparação. Nesse teste, comparamos nossa função com uma função de referência cuja convergência ou divergência já é conhecida. Sabemos que |1x^2 cos (1x)| <= 1x^2 , então podemos afirmar que:

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral da função de referência integral 1x^2 , dx = -1x + C . Calculando essa integral:
lima to 0^+ (-11/pi + 1a) = lima to 0^+ (-pi + 1a) = infty
Avaliando de a :
Isso mostra que a integral da função de referência diverge.

Passo 5

De volta ao Teste da comparação: já que e a integral da função diverge, podemos concluir que a integral original também diverge. Isso porque a função original é “maior ou igual” em valor absoluto à função que sabemos que diverge.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
sejam da forma y = x^m.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas, m1 = m2 = m, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
y(x) = C1 x^m + C2 x^m ln x
(2,0) Considere a função integrável f:[-2,0] [0,4] dada por f(x)=4-x^2. Utilize um limite de somas superiores para calcular a integral definida integral-2^0 f(x) d x.
Lembrete: 1+2+cdots+n=n(n+1)2 e 1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6.
2,0 Calcule o comprimento de arco da função f(x) = e^(x) + (1/4)e^(-x) entre x = -1 e x = 1.
2,0 Determine a área da região do primeiro quadrante, delimitada pelos gráficos das funçõoes f(x) = 12 / (x + 1) e g(x) = 7 - x e pelos eixos coordenados.