Determine se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Ok, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a integral convergente ou divergente. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente analisando a convergência de uma integral imprópria, já que o intervalo de integração vai até 0, onde a função pode ter comportamentos estranhos. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0 e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Sabemos que oscila entre -1 e 1, mas cresce sem limite conforme . Isso sugere que a integral pode ter problemas de convergência devido ao termo .
Passo 3
Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da comparação. Nesse teste, comparamos nossa função com uma função de referência cuja convergência ou divergência já é conhecida. Sabemos que , então podemos afirmar que:
Passo 4
Agora, vamos considerar a integral da função de referência integral 1x^2 , dx = -1x + C . Calculando essa integral:
lima to 0^+ (-11/pi + 1a) = lima to 0^+ (-pi + 1a) = infty
Avaliando de a :
Isso mostra que a integral da função de referência diverge.
Passo 5
De volta ao Teste da comparação: já que e a integral da função diverge, podemos concluir que a integral original também diverge. Isso porque a função original é “maior ou igual” em valor absoluto à função que sabemos que diverge.