Calcule o comprimento do arco da função no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar a distância percorrida por uma curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a velocidade com que a posição está mudando.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) dessa derivada . O módulo de um vetor é dado por .
Passo 4
Com o módulo da derivada em mãos, podemos montar a integral que representa o comprimento do arco. A fórmula geral para o comprimento do arco de uma função vetorial de até é:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa integral. Infelizmente, a integral não tem uma antiderivada elementar, ou seja, não pode ser expressa em termos de funções básicas que conhecemos. Então, para resolver isso, podemos usar métodos numéricos ou uma aproximação.
Vamos usar uma aproximação simplificada aqui. Para fins didáticos, vamos considerar que a função dentro da raiz não varia muito drasticamente e podemos estimar a integral.
No entanto, para obter uma resposta precisa, normalmente usaríamos uma calculadora ou software de cálculo que possa resolver integrais numéricas.
Resposta
Após calcular a integral numérica de de até , encontramos que o comprimento do arco é aproximadamente unidades.