Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais para determinar planos e retas tangentes e normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto dado, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos dar a inclinação do plano em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para a reta normal, precisamos da direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é composto pelas derivadas parciais que já calculamos, ou seja, .

Passo 7

Com o vetor direção e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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Calcule o comprimento do arco da função no intervalo .
Mostre que é ortogonal a sempre que é uma constante. Dada uma função derivável até pelo menos a prímeira ordem:
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
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Use a Regra da Cadeia para encontrar (ou .)
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