Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais para determinar planos e retas tangentes e normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto dado, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos dar a inclinação do plano em cada direção.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para a reta normal, precisamos da direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é composto pelas derivadas parciais que já calculamos, ou seja, .
Passo 7
Com o vetor direção e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: