Mostre que
é ortogonal a
sempre que
é uma constante. Dada uma função
derivável até pelo menos a prímeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada de
, que é
, é ortogonal a
sempre que o módulo de
, ou seja,
, é uma constante. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de vetores e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada e as propriedades de produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
ser constante significa que o comprimento do vetor
não muda com o tempo
. Matemáticamente, isso quer dizer que
, onde
é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para facilitar a derivação:
. Sabemos que
é igual ao produto escalar de
consigo mesmo, ou seja,
.
Passo 4
Então temos:
. Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. A derivada da constante
é zero.
Passo 5
Aplicando a regra do produto na derivada do lado esquerdo:
. Como o produto escalar é comutativo, isso vira
.
Passo 6
Igualando a derivada do lado esquerdo à do lado direito:
. Dividindo ambos os lados por 2, temos
.
Passo 7
O produto escalar de dois vetores sendo zero significa que eles são ortogonais. Portanto,
é ortogonal a
.
Resposta
Assim, provamos que
é ortogonal a
sempre que
é uma constante.