Mostre que é ortogonal a sempre que é uma constante. Dada uma função derivável até pelo menos a prímeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada de , que é , é ortogonal a sempre que o módulo de , ou seja, , é uma constante. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de vetores e ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada e as propriedades de produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que ser constante significa que o comprimento do vetor não muda com o tempo . Matemáticamente, isso quer dizer que , onde é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para facilitar a derivação: . Sabemos que é igual ao produto escalar de consigo mesmo, ou seja, .

Passo 4

Então temos: . Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a . A derivada da constante é zero.

Passo 5

Aplicando a regra do produto na derivada do lado esquerdo: . Como o produto escalar é comutativo, isso vira .

Passo 6

Igualando a derivada do lado esquerdo à do lado direito: . Dividindo ambos os lados por 2, temos .

Passo 7

O produto escalar de dois vetores sendo zero significa que eles são ortogonais. Portanto, é ortogonal a .

Resposta

Assim, provamos que é ortogonal a sempre que é uma constante.

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(a) .