Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto especificado. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar as inclinações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável de cada vez, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente, que é formado pelas derivadas parciais. Assim, o vetor gradiente é (o “-1” vem porque a reta normal também varia na direção ).
A equação paramétrica da reta normal é então:
Onde é o vetor gradiente. Substituindo os valores: