Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado: f(x) = (x + 1)^(3 / 2) + 2, 3 <= x <= 8

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o comprimento do arco do gráfico da função no intervalo de igual a 3 até 8. Vamos usar os conceitos de cálculo de comprimentos de arco, que envolvem derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função de até :
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função dada é . A derivada de usando a regra do poder é:
O termo constante 2 desaparece na derivada.

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Faça a substituição:
A integral fica:
Voltando para :

Passo 7

Agora, aplicando os limites de integração de 3 a 8:
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Então:

Passo 8

Calculando as potências:
Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo de é aproximadamente 19,63 unidades.

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