Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o comprimento do arco do gráfico da função
no intervalo de
igual a 3 até 8. Vamos usar os conceitos de cálculo de comprimentos de arco, que envolvem derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
de
até
:
Aqui,
é a derivada da função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A função dada é
. A derivada de
usando a regra do poder é:
O termo constante 2 desaparece na derivada.
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Faça a substituição:
A integral fica:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, aplicando os limites de integração de 3 a 8:
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Então:
Passo 8
Calculando as potências:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento do arco da função
no intervalo de
é aproximadamente 19,63 unidades.
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Transforme cada equação cartesiana em polar:
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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