Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { 1, se 0 <= t < a; -1, se a <= t < 2a }

Passo 1

Beleza, vamos encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica definida por:
A matéria que estamos usando aqui é a transformada de Laplace aplicada a funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula específica da transformada de Laplace para funções que se repetem em intervalos regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas. Se uma função f(t) é periódica com período T, a sua transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, o período T é igual a porque a função se repete a cada unidades de tempo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral no numerador da fórmula. Vamos dividir essa integral em duas partes, de 0 a a e de a a , de acordo com como a função f(t) está definida:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Somando as duas integrais:

Passo 5

Agora, vamos substituir essa integral na fórmula da transformada de Laplace:
Podemos simplificar esse resultado fatorando o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:

Resposta

A transformada de Laplace da função periódica dada é:

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { 1, se 0 <= t < a; 0, se a <= t < 2a }
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { x, se 0 <= t < 2; 4 - x, se 2 <= t < 4 }.