Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica definida por:
A matéria que estamos usando aqui é a transformada de Laplace aplicada a funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula específica da transformada de Laplace para funções que se repetem em intervalos regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas. Se uma função
é periódica com período
, a sua transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, o período
é igual a
porque a função se repete a cada
unidades de tempo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral no numerador da fórmula. Vamos dividir essa integral em duas partes, de
a
e de
a
, de acordo com como a função
está definida:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Somando as duas integrais:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa integral na fórmula da transformada de Laplace:
Podemos simplificar esse resultado fatorando o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Resposta
A transformada de Laplace da função periódica dada é:
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Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Resolva cada um das equações diferencias a seguir usando transformada de Laplace.
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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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