Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica definida da seguinte forma:
O conteúdo aqui envolve transformada de Laplace e funções periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções que se repetem no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace para uma função periódica
com período
é dada por:
Aqui,
é o período da função. No nosso caso, vendo a definição de
, percebemos que a função se repete a cada
unidades de tempo. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral no numerador:
Como
é igual a 1 de
a
e igual a 0 de
a
, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Passo 5
Substituindo a integral na fórmula da transformada de Laplace:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Note que
. Então:
Resposta
A transformada de Laplace da função periódica dada é:
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Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
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