Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { 1, se 0 <= t < a; 0, se a <= t < 2a }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de uma função periódica definida da seguinte forma:
O conteúdo aqui envolve transformada de Laplace e funções periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da transformada de Laplace para funções que se repetem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, é o período da função. No nosso caso, vendo a definição de , percebemos que a função se repete a cada unidades de tempo. Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral no numerador:
Como é igual a 1 de a e igual a 0 de a , a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral:

Passo 5

Substituindo a integral na fórmula da transformada de Laplace:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que . Então:

Resposta

A transformada de Laplace da função periódica dada é:

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { 1, se 0 <= t < a; -1, se a <= t < 2a }
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado: f(x) = (x + 1)^(3 / 2) + 2, 3 <= x <= 8
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções periódicas a seguir.
f(t) = { x, se 0 <= t < 2; 4 - x, se 2 <= t < 4 }.
A + B + C = 1, -2 A - 4 B = 0, -3 A + 3 B - C = 5