Resolva cada um das equações diferencias a seguir usando transformada de Laplace.
y'' - y = e^t cos(t), y(0) = 0, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A ideia aqui é transformar a equação diferencial do domínio do tempo para o domínio da frequência (s), resolver lá e depois voltar para o tempo usando a transformada inversa. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace para derivadas e funções exponenciais com cosseno.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
E como e , simplifica para:

Passo 3

Transformando também o termo :
E para o lado direito, , usamos a transformada de:
Aqui, e , então:

Passo 4

Substituindo tudo na equação transformada:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão para . Primeiro, note que , então:

Passo 6

Para facilitar a inversão da transformada, usamos frações parciais. Queremos expressar na forma:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Expandindo e agrupando termos:
Agora, igualamos os coeficientes:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Substituindo na terceira:
Então:

Passo 9

Substituindo os valores de , e na fração parcial:
Podemos reescrever como:

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
E para o segundo termo, usamos que:
Aqui, e .
Então:

Passo 11

Finalmente, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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