Resolva cada um das equações diferencias a seguir usando transformada de Laplace. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A ideia aqui é transformar a equação diferencial do domínio do tempo para o domínio da frequência (s), resolver lá e depois voltar para o tempo usando a transformada inversa. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace para derivadas e funções exponenciais com cosseno.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
E como e , simplifica para:
Passo 3
Transformando também o termo :
E para o lado direito, , usamos a transformada de:
Aqui, e , então:
Passo 4
Substituindo tudo na equação transformada:
Isolando :
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão para . Primeiro, note que , então:
Passo 6
Para facilitar a inversão da transformada, usamos frações parciais. Queremos expressar na forma:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 7
Expandindo e agrupando termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Substituindo na terceira:
Então:
Passo 9
Substituindo os valores de , e na fração parcial:
Podemos reescrever como:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo: