Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco do gráfico da função no intervalo de . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função no intervalo de a . Ela é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função , elevá-la ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Em seguida, vamos somar 1 a esse resultado:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar essa expressão no intervalo de a :
Sabemos que a integral de é . Então,
E sabemos que e , então:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo de é unidades.

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Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
22.
(a) Considere a equação . Mostre que as raízes da equação característica são , de modo que uma solução da equação é .
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que é constante.
© Seja e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução . Resolvendo essa equação, mostre que .
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Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno do eixo .