Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado: f(x) = raiz(4 - x^2), -2 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco do gráfico da função no intervalo de . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função no intervalo de a . Ela é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função , elevá-la ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Em seguida, vamos somar 1 a esse resultado:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar essa expressão no intervalo de a :
Sabemos que a integral de é . Então,
E sabemos que e , então:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo de é unidades.

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