Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco do gráfico da função
no intervalo de
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função
no intervalo de
a
. Ela é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função
, elevá-la ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar tudo isso no intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Em seguida, vamos somar 1 a esse resultado:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado:
Passo 7
Finalmente, vamos integrar essa expressão no intervalo de
a
:
Sabemos que a integral de
é
. Então,
E sabemos que
e
, então:
Resposta
O comprimento de arco da função
no intervalo de
é
unidades.