Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria em coordenadas polares! A questão pede para determinar a área limitada pela curva dada por no intervalo de
de
até
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área
em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que nos dá a distância do ponto à origem para cada ângulo
, e
e
são os limites de integração, ou seja, os ângulos entre os quais queremos encontrar a área.
Passo 3
No nosso caso, a função
é e os limites de
são de
até
. Então, vamos substituir esses valores na fórmula da área:
Passo 4
Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar a integração. Primeiro, vamos elevar
ao quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observe que pode ser reescrito como . Isso simplifica a integral para:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores da função no limite superior e inferior:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Calculando o valor de
:
Substituindo:
Resposta
A área limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
22.
22.
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno do eixo
.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5. ;
5.