Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria em coordenadas polares! A questão pede para determinar a área limitada pela curva dada por no intervalo de de até . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que nos dá a distância do ponto à origem para cada ângulo , e e são os limites de integração, ou seja, os ângulos entre os quais queremos encontrar a área.

Passo 3

No nosso caso, a função é e os limites de são de até . Então, vamos substituir esses valores na fórmula da área:

Passo 4

Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão para facilitar a integração. Primeiro, vamos elevar ao quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observe que pode ser reescrito como . Isso simplifica a integral para:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores da função no limite superior e inferior:
Para :
Para :
Então, a área é:
Calculando o valor de :
Substituindo:

Resposta

A área limitada pelas curvas é aproximadamente unidades de área.

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5. ;