Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: e em torno do eixo .

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o volume do sólido gerado quando giramos a região limitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples:
Agora temos duas funções:
  1. (uma parábola)
  2. (uma reta)
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber entre quais valores de vamos integrar.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando a equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as curvas se intersectam no ponto .

Passo 4

Agora que sabemos que a interseção ocorre em , vamos definir os limites de integração de a .
Usaremos o método dos discos, cuja fórmula geral para o volume é:
Onde é a distância do ponto até o eixo de rotação (no caso, o eixo ).

Passo 5

Identificamos as funções que delimitam a região:
  • A função superior:
  • A função inferior:
Como estamos girando em torno do eixo , a distância será a diferença entre a função superior e a inferior:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Simplificando os termos:
Combinação dos termos semelhantes:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:

Passo 8

Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 2:
Para :
Para :
Todos os termos serão zero.
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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5. ;
Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de , o eixo e a reta em torno do eixo : Calcule o volume do sólido.