Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o volume do sólido gerado quando giramos a região limitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução. Precisamos entender onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de forma mais simples:
Agora temos duas funções:
-
(uma parábola) -
(uma reta)
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber entre quais valores de
vamos integrar.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando a equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as curvas se intersectam no ponto
.
Passo 4
Agora que sabemos que a interseção ocorre em
, vamos definir os limites de integração de
a
.
Usaremos o método dos discos, cuja fórmula geral para o volume
é:
Onde
é a distância do ponto
até o eixo de rotação (no caso, o eixo
).
Passo 5
Identificamos as funções que delimitam a região:
- A função superior:
- A função inferior:
Como estamos girando em torno do eixo
, a distância
será a diferença entre a função superior e a inferior:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Simplificando os termos:
Combinação dos termos semelhantes:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Passo 8
Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 2:
Para
:
Para
:
Todos os termos serão zero.
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
5. ;
5.
Um paraboloide sólido de revolução é gerado pela revolução da região limitada pelo gráfico de
, o eixo
e a reta
em torno do eixo
: Calcule o volume do sólido.