Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e resolver a equação no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
E sabemos que:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada na equação diferencial:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar
:
Para simplificar o lado direito, colocamos sobre um denominador comum:
Então:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a transformação inversa. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos
:
Usando frações parciais, decompomos:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: