Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
22. y'' - 2y' + 2y = e^-t ; y(0) = 0 ; y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e resolver a equação no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
E sabemos que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada na equação diferencial:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar :
Para simplificar o lado direito, colocamos sobre um denominador comum:
Então:
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a transformação inversa. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos :
Usando frações parciais, decompomos:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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