(a) Considere a equação y'' + 2a y' + a^2 y = 0. Mostre que as raízes da equação característica são r1 = r2 = -a, de modo que uma solução da equação é e^(-a t).
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
W(t) = y1(t) y2'(t) - y1'(t) y2(t) = c1 e^(-2 a t)
em que c1 é constante.
© Seja y1(t) = e^(-a t) e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução y2(t). Resolvendo essa equação, mostre que y2(t) = t e^(-a t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos analisar a equação . Para isso, vamos identificar as raízes da equação característica, usar a Fórmula de Abel para determinar o wronskiano e, por fim, encontrar uma segunda solução utilizando uma das soluções já conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante , temos uma raiz dupla:
Portanto, as raízes são , o que significa que uma solução da equação diferencial é .

Passo 3

Agora, vamos utilizar a Fórmula de Abel para encontrar o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação diferencial. A Fórmula de Abel nos diz que:
Onde é o coeficiente de na equação diferencial. Na nossa equação, . Então:
Como é uma constante (vamos chamá-la de ), podemos simplificar a expressão para:
Portanto, o wronskiano de duas soluções quaisquer é .

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar uma segunda solução sabendo que . Usando o resultado do passo anterior para o wronskiano, temos:
Substituindo e sua derivada:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando a equação por :
O lado esquerdo é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Dividindo por :
Como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher , então:

Resposta

A segunda solução é .

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