(a) Considere a equação
. Mostre que as raízes da equação característica são
, de modo que uma solução da equação é
.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que
é constante.
© Seja
e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução
. Resolvendo essa equação, mostre que
.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
© Seja
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos analisar a equação
. Para isso, vamos identificar as raízes da equação característica, usar a Fórmula de Abel para determinar o wronskiano e, por fim, encontrar uma segunda solução utilizando uma das soluções já conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante
, temos uma raiz dupla:
Portanto, as raízes são
, o que significa que uma solução da equação diferencial é
.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a Fórmula de Abel para encontrar o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação diferencial. A Fórmula de Abel nos diz que:
Onde
é o coeficiente de
na equação diferencial. Na nossa equação,
. Então:
Como
é uma constante (vamos chamá-la de
), podemos simplificar a expressão para:
Portanto, o wronskiano de duas soluções quaisquer é
.
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar uma segunda solução
sabendo que
. Usando o resultado do passo anterior para o wronskiano, temos:
Substituindo
e sua derivada:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante
é:
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo por
:
Como estamos procurando uma segunda solução linearmente independente, podemos escolher
, então:
Resposta
A segunda solução é
.