Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região
em torno do eixo dos
. A região
está delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo dos
. Quando fazemos isso, cada ponto da região descreve um círculo ao redor do eixo. O volume total do sólido pode ser encontrado integrando a área desses círculos ao longo do eixo
.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar a fórmula dos discos:
Aqui,
é o raio do disco em cada valor de
, e
são os limites de integração. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos identificar
. A região é limitada por
e
. Como estamos girando em torno do eixo dos
, o raio
é a distância do eixo dos
até a curva
, ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula dos discos:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Primeiro, somamos os termos:
Para somar as frações, achamos um denominador comum, que é 15:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o rot
para o campo vetorial dado:
Nos exercícios 3 a 6, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Justifique as seguintes questões:
é irrotacional.$
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Experimente resolver a questão considerando função de
e depois função de