Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x = y^2 + 1 , x = 0 , y = -2 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região em torno do eixo dos . A região está delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo dos . Quando fazemos isso, cada ponto da região descreve um círculo ao redor do eixo. O volume total do sólido pode ser encontrado integrando a área desses círculos ao longo do eixo .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar a fórmula dos discos:
Aqui, é o raio do disco em cada valor de , e são os limites de integração. No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos identificar . A região é limitada por e . Como estamos girando em torno do eixo dos , o raio é a distância do eixo dos até a curva , ou seja:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula dos discos:
Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral passo a passo:
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 7

Vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Primeiro, somamos os termos:
Para somar as frações, achamos um denominador comum, que é 15:
Somando tudo:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo para encontrar o volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos 1,1 e (4,8). Experimente resolver a questão considerando função de x e depois função de y * R = (1/27) * (80 * raiz(10) - 13 * raiz(13))