Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve integrar a raiz de
mais o quadrado da derivada da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da derivada de
em relação a
. Vamos começar isolando
na equação da parábola:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Com a derivada em mãos, podemos montar a fórmula do comprimento do arco. A fórmula geral é:
Substituindo
na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
usando uma substituição. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Calculando
e
:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento do arco é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) , onde
.
(b) , onde
.
Resposta:
© , onde
.
(d) , onde
e
o triangulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) , onde
e
o retângulo com vértices
,
, orientado no sentido anti-horário.
(f) , onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
(a)
(b)
Resposta:
©
(d)
(e)
(f)
Determine a função comprimento de arco para a curva
tomando
como o ponto inicial.
Calcule o comprimento de arco da parábola
de (0, 0) a (1, 1).