Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos 1,1 e (4,8).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da parábola semicúbica entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve integrar a raiz de mais o quadrado da derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da derivada de em relação a . Vamos começar isolando na equação da parábola:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Com a derivada em mãos, podemos montar a fórmula do comprimento do arco. A fórmula geral é:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral usando uma substituição. Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando para a variável original :
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando:

Passo 7

Calculando e :
Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento do arco é:

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