Determine a função comprimento de arco para a curva tomando como o ponto inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função comprimento de arco para a curva , começando no ponto inicial . Isso envolve usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da curva em cada ponto, o que é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco. A fórmula geral para o comprimento de arco de uma função entre e é:
No nosso caso, (ponto inicial ) e queremos a função em termos de , então fica:

Passo 4

Vamos simplificar o que está dentro da raiz. Primeiro, calculando :
Somando 1:

Passo 5

Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela é um quadrado perfeito:
Então, a raiz quadrada fica mais simples:

Passo 6

Agora, a integral para o comprimento de arco fica:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Aplicando os limites de integração de 1 a :

Resposta

A função comprimento de arco é:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica entre os pontos e .
Calcule a integral , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.
Calcule o comprimento de arco da parábola de (0, 0) a (1, 1).