Determine a função comprimento de arco para a curva
tomando
como o ponto inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função comprimento de arco para a curva
, começando no ponto inicial
. Isso envolve usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da curva em cada ponto, o que é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco. A fórmula geral para o comprimento de arco de uma função
entre
e
é:
No nosso caso,
(ponto inicial
) e queremos a função em termos de
, então fica:
Passo 4
Vamos simplificar o que está dentro da raiz. Primeiro, calculando
:
Somando 1:
Passo 5
Observando a expressão dentro da raiz, percebemos que ela é um quadrado perfeito:
Então, a raiz quadrada fica mais simples:
Passo 6
Agora, a integral para o comprimento de arco fica:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Aplicando os limites de integração de 1 a
:
Resposta
A função comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
.
Calcule a integral
, onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule o comprimento de arco da parábola
de (0, 0) a (1, 1).