Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a)
, onde
.
(b)
, onde
.
Resposta:
©
, onde
.
(d)
, onde
e
o triangulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e)
, onde
e
o retângulo com vértices
,
, orientado no sentido anti-horário.
(f)
, onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
(a)
(b)
Resposta:
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Resíduos, que faz parte da Análise Complexa. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os chamados pólos), verificar quais estão dentro do contorno de integração (no caso, o círculo de raio 2 centrado na origem), e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função
. Os pólos acontecem onde o denominador é zero, ou seja:
-
⟹ -
⟹ , onde é inteiro.
Então, os possíveis pólos são
e
para todo
inteiro.
Passo 3
Agora, vamos ver quais desses pólos estão dentro do contorno
, que é o círculo de raio 2 centrado na origem. Vamos calcular a magnitude de cada pólo:
- Para
: ➔ está dentro. - Para
: -
: está dentro. -
: ➔ fora. -
: ➔ fora.
-
Então, os pólos dentro do contorno são
e
.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos nesses dois pontos.
Resíduo em
:
Aqui, temos um pólo simples, porque
é de primeiro grau. O resíduo é dado por:
Resíduo em
:
Nesse ponto,
perto de
, então temos:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
Substituindo os valores dos resíduos:
Resposta
Exercícios relacionados
R.
R.
Calcule a integral
, onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
.