Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) , onde .
(b) , onde .
Resposta:
© , onde .
(d) , onde e o triangulo com vértices e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.
(f) , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Resíduos, que faz parte da Análise Complexa. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os chamados pólos), verificar quais estão dentro do contorno de integração (no caso, o círculo de raio 2 centrado na origem), e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função . Os pólos acontecem onde o denominador é zero, ou seja:
  1. , onde é inteiro.
Então, os possíveis pólos são e para todo inteiro.

Passo 3

Agora, vamos ver quais desses pólos estão dentro do contorno , que é o círculo de raio 2 centrado na origem. Vamos calcular a magnitude de cada pólo:
  • Para : ➔ está dentro.
  • Para :
    • : está dentro.
    • : ➔ fora.
    • : ➔ fora.
Então, os pólos dentro do contorno são e .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos nesses dois pontos.
Resíduo em :
Aqui, temos um pólo simples, porque é de primeiro grau. O resíduo é dado por:
Resíduo em :
Nesse ponto, perto de , então temos:

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
Substituindo os valores dos resíduos:

Resposta

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R.

R.
Calcule a integral , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica entre os pontos e .