Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) 12 pi i ointpartial D(0,5) f(z) d z, onde f(z)=z(z+1)(z+2 i).
(b) 12 pi i ointpartial D(0,2) f(z) d z, onde f(z)=e^z(z+1) sen z.
Resposta: 1-1 /(e sen 1)
© 12 pi i ointpartial D(0,8) f(z) d z, onde f(z)=cot z(z-6 i)^2+64.
(d) 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^zz(z+1)(z+2) e gamma o triangulo com vértices 1 pm i e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^z(z+3 i)^2(z+3)^2(z+4) e gamma o retângulo com vértices 2 pm i, -8 pm i, orientado no sentido anti-horário.
(f) 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^i z(sen z)(cos z) e gamma o quadrilátero com vértices pm 5 i, pm 10, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral 12 pi i ointpartial D(0,2) e^z(z+1)sin z , dz. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Resíduos, que faz parte da Análise Complexa. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (os chamados pólos), verificar quais estão dentro do contorno de integração (no caso, o círculo de raio 2 centrado na origem), e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função f(z) = e^z(z+1)sin z. Os pólos acontecem onde o denominador é zero, ou seja:
  1. z + 1 = 0 z = -1
  2. sin z = 0 z = npi, onde n é inteiro.
Então, os possíveis pólos são z = -1 e z = npi para todo n inteiro.

Passo 3

Agora, vamos ver quais desses pólos estão dentro do contorno partial D(0,2), que é o círculo de raio 2 centrado na origem. Vamos calcular a magnitude de cada pólo:
  • Para z = -1: | -1 | = 1 < 2 ➔ está dentro.
  • Para z = npi:
    • n=0: 0 está dentro.
    • n=1: pi approx 3,14 > 2 ➔ fora.
    • n=-1: -pi approx -3,14 > 2 ➔ fora.
Então, os pólos dentro do contorno são z = -1 e z = 0.

Passo 4

Vamos calcular os resíduos nesses dois pontos.
Resíduo em z = -1:
Aqui, temos um pólo simples, porque z + 1 é de primeiro grau. O resíduo é dado por:
Res(f, -1) = limz to -1 (z + 1) cdot e^z(z+1)sin z = e^-1sin (-1) = -e^-1sin 1
Resíduo em z = 0:
Nesse ponto, sin z approx z perto de z = 0, então temos:
Res(f, 0) = limz to 0 z cdot e^z(z+1)sin z = e^01 cdot 1 = 1

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
12 pi i ointpartial D(0,2) f(z) , dz = 12 pi i cdot 2pi i ( Res(f, -1) + Res(f, 0) ) = Res(f, -1) + Res(f, 0)
Substituindo os valores dos resíduos:
Res(f, -1) + Res(f, 0) = ( -1e sin 1 ) + 1 = 1 - 1e sin 1

Resposta

1 - dfrac1e, sin 1

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