Calcule o comprimento de arco da parábola
de (0, 0) a (1, 1).
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o comprimento do arco da parábola
que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por
. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento do arco,
e
são os limites de integração (no nosso caso, de 0 a 1), e
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 3
A nossa equação é
. Vamos reescrever para facilitar:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
. Também, quando
,
e quando
,
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Agora, resolveremos essa integral usando métodos de integração apropriados, que levarão ao resultado final após os cálculos.
Resposta
Após resolver a integral, o comprimento do arco da parábola
de
a
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Determine a função comprimento de arco para a curva
tomando
como o ponto inicial.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
.