Calcule o comprimento de arco da parábola de (0, 0) a (1, 1).

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o comprimento do arco da parábola que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por . A fórmula é:
Aqui, é o comprimento do arco, e são os limites de integração (no nosso caso, de 0 a 1), e é a derivada da função em relação a .

Passo 3

A nossa equação é . Vamos reescrever para facilitar:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora que temos , vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então ou . Também, quando , e quando , .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Agora, resolveremos essa integral usando métodos de integração apropriados, que levarão ao resultado final após os cálculos.

Resposta

Após resolver a integral, o comprimento do arco da parábola de a é aproximadamente unidades.

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Determine a função comprimento de arco para a curva tomando como o ponto inicial.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica entre os pontos e .