Calcule a integral 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^i z(sen z)(cos z) e gamma o quadrilátero com vértices pm 5 i, pm 10, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral , onde . A curva é um quadrilátero com vértices em e , orientada anti-horário. Vamos usar análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso. Precisamos identificar os polos de dentro da curva e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde tem singularidades (pontos problemáticos). As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando ou .
  • quando , onde é um inteiro.
  • quando , onde é um inteiro.
Então, os polos de estão em e .

Passo 3

Agora, precisamos identificar quais desses polos estão dentro da curva . A curva é um quadrilátero com vértices em e , então ela abrange todos os com parte real entre e e parte imaginária entre e .
Vamos listar os polos dentro desse retângulo:
  • Para :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
  • Para :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
Todos esses polos estão dentro do retângulo .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos de Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z) em cada um desses polos. Lembrando que o Resíduo de uma função em um polo simples é dado por:
Vamos calcular isso para cada polo.

Passo 5

Vamos começar com polos de Res(f, kpi) = limz to kpi (z - kpi) e^izsen z cos z :
Para Res(f, kpi) = e^i kpi(-1)^k cos(kpi) = e^i kpi(-1)^k (-1)^k = e^i kpi , temos . Então:
Sabemos que perto de Res(f, kpi) = (-1)^k . Então:
Como , temos:

Passo 6

Agora, para os polos de Res(f, pi2 + kpi) = limz to pi2 + kpi (z - (pi2 + kpi)) e^izsen z cos z :
Aqui, Res(f, pi2 + kpi) = e^i(pi2 + kpi)sen(pi2 + kpi) cdot (-1)^k . Então:
Sabendo que Res(f, pi2 + kpi) = e^i(pi2 + kpi)(-1)^k cdot (-1)^k = e^i(pi2 + kpi) perto de Res(f, pi2 + kpi) = i cdot (-1)^k , temos:
Como , substituindo:
E , então:

Passo 7

Agora, vamos somar todos os resíduos dentro da curva sum (-1)^k :
Para sum i cdot (-1)^k , com (-1)^-3 + (-1)^-2 + dots + (-1)^3 = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 = -1 :
i(-1)^-3 + i(-1)^-2 + dots + i(-1)^2 = -i + i -i + i -i + i = 0
Para , com :
Calculando cada soma:
  • para a :
  • para a :

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual à soma dos resíduos dentro da curva multiplicada por 12pi i cdot 2pi i cdot (soma dos resíduos) = soma dos resíduos . Mas como a integral original tem o fator 12 pi i ointgamma f(z) , dz = -1 + 0 = -1 , o resultado final será:
íí
Portanto:

Resposta

A integral vale .

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