Calcule a integral , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral , onde . A curva é um quadrilátero com vértices em e , orientada anti-horário. Vamos usar análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso. Precisamos identificar os polos de dentro da curva e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde tem singularidades (pontos problemáticos). As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando ou .
  • quando , onde é um inteiro.
  • quando , onde é um inteiro.
Então, os polos de estão em e .

Passo 3

Agora, precisamos identificar quais desses polos estão dentro da curva . A curva é um quadrilátero com vértices em e , então ela abrange todos os com parte real entre e e parte imaginária entre e .
Vamos listar os polos dentro desse retângulo:
  • Para :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
  • Para :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
Todos esses polos estão dentro do retângulo .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos de em cada um desses polos. Lembrando que o Resíduo de uma função em um polo simples é dado por:
Vamos calcular isso para cada polo.

Passo 5

Vamos começar com polos de :
Para , temos . Então:
Sabemos que perto de . Então:
Como , temos:

Passo 6

Agora, para os polos de :
Aqui, . Então:
Sabendo que perto de , temos:
Como , substituindo:
E , então:

Passo 7

Agora, vamos somar todos os resíduos dentro da curva :
Para , com :
Para , com :
Calculando cada soma:
  • para a :
  • para a :

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual à soma dos resíduos dentro da curva multiplicada por . Mas como a integral original tem o fator , o resultado final será:
íí
Portanto:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) , onde .
(b) , onde .
Resposta:
© , onde .
(d) , onde e o triangulo com vértices e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.
(f) , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.

R.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica entre os pontos e .
Determine a função comprimento de arco para a curva tomando como o ponto inicial.