Calcule a integral
, onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
, onde . A curva
é um quadrilátero com vértices em
e
, orientada anti-horário. Vamos usar análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, para resolver isso. Precisamos identificar os polos de
dentro da curva
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde
tem singularidades (pontos problemáticos). As singularidades ocorrem quando o denominador é zero, ou seja, quando ou
.
- quando
, onde é um inteiro. -
quando , onde é um inteiro.
Então, os polos de
estão em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar quais desses polos estão dentro da curva
. A curva
é um quadrilátero com vértices em
e
, então ela abrange todos os
com parte real entre
e
e parte imaginária entre
e
.
Vamos listar os polos dentro desse retângulo:
-
Para
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
-
Para
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
Todos esses polos estão dentro do retângulo
.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos de
em cada um desses polos. Lembrando que o Resíduo de uma função em um polo simples
é dado por:
Vamos calcular isso para cada polo.
Passo 5
Vamos começar com polos de
:
Para
, temos . Então:
Sabemos que perto de
. Então:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, para os polos de
:
Aqui,
. Então:
Sabendo que
perto de
, temos:
Como , substituindo:
E
, então:
Passo 7
Agora, vamos somar todos os resíduos dentro da curva
:
Para
, com
:
Para
, com
:
Calculando cada soma:
-
para a : -
para a :
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual à soma dos resíduos dentro da curva multiplicada por
. Mas como a integral original tem o fator
, o resultado final será:
Portanto:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) , onde
.
(b) , onde
.
Resposta:
© , onde
.
(d) , onde
e
o triangulo com vértices
e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) , onde
e
o retângulo com vértices
,
, orientado no sentido anti-horário.
(f) , onde
e
o quadrilátero com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
(a)
(b)
Resposta:
©
(d)
(e)
(f)
R.
Calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica
entre os pontos
e
.
Determine a função comprimento de arco para a curva
tomando
como o ponto inicial.