Seja gamma: I -> R^2 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Mostre que, para todo t in I, k(t) = ||gamma''(t)||, onde k(s) é a curvatura em gamma(t);

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva gamma que está parametrizada pelo comprimento de arco, o que significa que a velocidade dessa curva é 1 em todos os pontos. A questão quer que a gente mostre que a curvatura nessa curva é igual à norma da segunda derivada de gamma, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de parametrização pelo comprimento de arco e curvatura de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma curva é parametrizada pelo comprimento de arco, a primeira derivada representa o vetor tangente à curva no ponto t, e sua norma é 1:
Isso acontece porque estamos medindo a posição na curva pelo próprio comprimento percorrido, então a velocidade é constante e igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda derivada . A segunda derivada nos dá a taxa de variação da direção do vetor tangente. Em termos geométricos, isso está relacionado com a curvatura da curva. A curvatura mede o quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto.

Passo 4

Para relacionar a curvatura com a segunda derivada, usamos a definição de curvatura em termos do vetor normal. A curvatura é definida como:
Onde T é o vetor tangente à curva. Como e , então:

Passo 5

Substituindo isso na expressão da curvatura, temos:
Portanto, mostramos que a curvatura da curva parametrizada pelo comprimento de arco é igual à norma da segunda derivada de gamma no ponto t.

Resposta

A curvatura da curva parametrizada pelo comprimento de arco gamma(t) é igual à norma da segunda derivada, ou seja:

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