Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular o comprimento do arco de uma curva definida por para
variando de
a
. Isso está no campo do Cálculo, mais precisamente na Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
e
, o comprimento do arco
de
a
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. No nosso caso:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Essa integral nos dá o comprimento do arco da elipse definida. Porém, vale lembrar que essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares. Para calcular o valor exato, usamos funções especiais conhecidas como integrais elípticas. Se precisarmos de um valor numérico, podemos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.
Resposta
O comprimento do arco da curva para
é dado por uma integral que envolve integrais elípticas, ou seja:
Para um valor numérico específico, seria necessário utilizar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.
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e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
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Calcule:
;