Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular o comprimento do arco de uma curva definida por para variando de a . Isso está no campo do Cálculo, mais precisamente na Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por e , o comprimento do arco de a é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . No nosso caso:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Essa integral nos dá o comprimento do arco da elipse definida. Porém, vale lembrar que essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares. Para calcular o valor exato, usamos funções especiais conhecidas como integrais elípticas. Se precisarmos de um valor numérico, podemos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.

Resposta

O comprimento do arco da curva para é dado por uma integral que envolve integrais elípticas, ou seja:
Para um valor numérico específico, seria necessário utilizar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.

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Calcule: ;