Calcule: integral-1^1(sen t i+11+t^2 j+k) d t;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral definida de uma função vetorial. O enunciado é . A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrando funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente separadamente: a parte com , a com e a com .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente integral-1^1 sen t , dt = [-cos t]-1^1 = -cos(1) - (-cos(-1)) = -cos(1) + cos(1) = 0 . A integral de em relação a é . Então, calculamos:
Então, a componente é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a componente integral-1^1 11+t^2 , dt = [arctan(t)]-1^1 = arctan(1) - arctan(-1) = pi4 - (-pi4) = pi2 . A integral de é . Calculando:
Então, a componente é .

Passo 4

Por fim, temos a componente constante integral-1^1 k , dt = k cdot (1 - (-1)) = k cdot 2 = 2k . A integral de uma constante é a constante multiplicada pelo intervalo de integração. Então:
Assim, a componente é .

Resposta

A integral é igual a 0,i + pi2,j + 2,k , ou simplesmente:

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