1. y'' - y = -20 delta(t - 3) ; y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:

com as condições iniciais y(0) = 1 e . O é a função delta de Dirac, que representa um impulso no tempo . Vamos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais com condições iniciais e funções de força como essa delta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:

Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :

Fatorando :
Então:

Passo 4

Vamos separar em duas partes para facilitar a inversão:

Sabemos que:
E:

Passo 5

Agora, vamos fazer a inversa da Transformada de Laplace para cada termo:

Aplicando isso:
E para o segundo termo, lembrando do termo retardado pela função :

onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 6

Juntando tudo, a solução y(t) fica:

Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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