Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Fatorando
Então:
Passo 4
Vamos separar
em duas partes para facilitar a inversão:
Sabemos que:
E:
Passo 5
Agora, vamos fazer a inversa da Transformada de Laplace para cada termo:
Aplicando isso:
E para o segundo termo, lembrando do termo retardado pela função
:
onde
Passo 6
Juntando tudo, a solução
fica:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: