Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por com
,
e
. O que queremos fazer aqui é calcular a curvatura dessa curva. A curvatura nos ajuda a entender o quanto uma curva está “curvando” em um determinado ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada por
. A fórmula é:
Mas como estamos trabalhando no plano, isso simplifica um pouco. Para curvas no plano, a curvatura pode ser calculada usando:
Aqui,
e
são as componentes da função vetorial
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
da nossa função
:
Agora, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
e
.
Passo 4
Calculando as primeiras derivadas:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 6
Agora que temos
,
,
e
, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Substituindo:
Então:
Sabemos que , então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o denominador:
Expandindo:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, substituindo tudo na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva é:
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Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas: