Considerando e , calcule a curvatura das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por com , e . O que queremos fazer aqui é calcular a curvatura dessa curva. A curvatura nos ajuda a entender o quanto uma curva está “curvando” em um determinado ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por . A fórmula é:
Mas como estamos trabalhando no plano, isso simplifica um pouco. Para curvas no plano, a curvatura pode ser calculada usando:
Aqui, e são as componentes da função vetorial .

Passo 3

Vamos identificar as componentes e da nossa função :
Agora, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de e .

Passo 4

Calculando as primeiras derivadas:

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas:

Passo 6

Agora que temos , , e , vamos substituir na fórmula da curvatura:
Substituindo:
Então:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos calcular o denominador:
Expandindo:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Agora, substituindo tudo na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é:

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Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , .
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .
Considerando e , calcule a curvatura das seguintes curvas: