Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a curvatura das curvas definidas por
, onde
e
. Para isso, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a curvatura
de uma curva paramétrica
é dada pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Dada
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na fórmula da curvatura:
Passo 5
Simplificamos o numerador:
Passo 6
Simplificamos o denominador:
Passo 7
Então, a expressão da curvatura fica:
Passo 8
Esse é o resultado final da curvatura da curva parametrizada
.
Resposta
A curvatura da curva
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas:
Calcule:
;
Determine os vetores
e
associados à curva
. Ache as equações dos planos osculadores e normal.