Considerando a > 0, b > 0 e r > 0, calcule a curvatura das seguintes curvas: f(t) = (a cos(t), b sen(t))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a curvatura das curvas definidas por , onde e . Para isso, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a curvatura de uma curva paramétrica é dada pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. Dada :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da curvatura:

Passo 5

Simplificamos o numerador:

Passo 6

Simplificamos o denominador:

Passo 7

Então, a expressão da curvatura fica:

Passo 8

Esse é o resultado final da curvatura da curva parametrizada .

Resposta

A curvatura da curva é dada por:

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