Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva definida por quando varia de a . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por , o comprimento do arco de a é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e na nossa curva:
Precisamos derivar e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Factorando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral é simples de resolver:

Resposta

O comprimento do arco da curva é .

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Seja contínua. Prove que existe tal que , pata todo .
Considerando e , calcule a curvatura das seguintes curvas: