Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva definida por
quando
varia de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
, o comprimento do arco
de
a
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
na nossa curva:
Precisamos derivar
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Factorando
dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, a integral é simples de resolver:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
.
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Seja
contínua. Prove que existe
tal que
, pata todo
.
Considerando
e
, calcule a curvatura das seguintes curvas: