Seja
contínua. Prove que existe
tal que
, pata todo
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função contínua
. A questão pede para provar que existe um número positivo
tal que a norma de
, ou seja,
, é sempre menor ou igual a
para todo
no intervalo
. Basicamente, queremos mostrar que a função não “explode” e fica limitada nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Extremo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado, como
, atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Esse é o que diz o Teorema do Valor Extremo. Então, como
é contínua e está definida em
, sabemos que ela atinge um valor máximo de norma nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos definir
como o valor máximo que
alcança no intervalo
. Mais formalmente, podemos escrever:
Isso é possível exatamente por causa do Teorema do Valor Extremo, que garante que esse máximo existe.
Passo 4
Com essa definição de
, sabemos que para todo
em
, a norma de
não excede
. Ou seja:
Isso completa a prova de que existe tal
que satisfaz a condição da questão.
Resposta
Existe
definido como
que satisfaz
para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
(lembrando que
.
Determine o domínio:
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.