Seja contínua. Prove que existe tal que , pata todo .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função contínua . A questão pede para provar que existe um número positivo tal que a norma de , ou seja, , é sempre menor ou igual a para todo no intervalo . Basicamente, queremos mostrar que a função não “explode” e fica limitada nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Extremo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado, como , atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Esse é o que diz o Teorema do Valor Extremo. Então, como é contínua e está definida em , sabemos que ela atinge um valor máximo de norma nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos definir como o valor máximo que alcança no intervalo . Mais formalmente, podemos escrever:
Isso é possível exatamente por causa do Teorema do Valor Extremo, que garante que esse máximo existe.

Passo 4

Com essa definição de , sabemos que para todo em , a norma de não excede . Ou seja:
Isso completa a prova de que existe tal que satisfaz a condição da questão.

Resposta

Existe definido como que satisfaz para todo .

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Calcule: , onde (lembrando que .
Determine o domínio:


Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , .