Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. A função
é uma função por partes, ou seja, muda de expressão em diferentes intervalos de
. Vamos resolver essa equação usando o método dos coeficientes indeterminados, explicando cada passo para você entender direitinho.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
. Para isso, buscamos soluções da forma
. Substituindo na equação, temos:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Passo 3
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é uma função por partes, vamos resolver em cada intervalo.
Para
,
.
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, para
, a solução particular é:
Passo 5
Para
,
.
Assumimos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
.
Portanto, para
, a solução particular é:
Passo 6
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular.
Para
:
Para
:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Para
:
Então,
.
Derivando
para
:
Para
:
Resposta
A solução da equação é:
Exercícios relacionados
Seja
contínua. Prove que existe
tal que
, pata todo
.
Calcule:
, onde
(lembrando que
.
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
,
.