Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem: com condições iniciais e . A função é uma função por partes, ou seja, muda de expressão em diferentes intervalos de . Vamos resolver essa equação usando o método dos coeficientes indeterminados, explicando cada passo para você entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada: . Para isso, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, temos:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos , ou seja, .

Passo 3

Com as raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como é uma função por partes, vamos resolver em cada intervalo.
Para , .
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, para , a solução particular é:

Passo 5

Para , .
Assumimos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, .
Portanto, para , a solução particular é:

Passo 6

Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular.
Para :
Para :

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Para :
Então, .
Derivando para :
Para :

Resposta

A solução da equação é:

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