Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
, o comprimento do arco
no intervalo
é dado por:
Essa fórmula basicamente soma infinitesimais de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
na sua curva
:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco, temos:
Note que
é uma constante, já que
e
são constantes.
Passo 5
Como
é constante, a integral fica simples:
Calculando a integral:
Passo 6
Portanto, o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo
é:
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Encontre a área da região sombreada.
A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
Considere a curva definida por
. Dê uma equação cartesiana da curva;
Determine o domínio: