Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o comprimento do arco da curva definida por no intervalo . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por , o comprimento do arco no intervalo é dado por:
Essa fórmula basicamente soma infinitesimais de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e na sua curva :
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco, temos:
Note que é uma constante, já que e são constantes.

Passo 5

Como é constante, a integral fica simples:
Calculando a integral:

Passo 6

Portanto, o comprimento do arco é:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo é:

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Encontre a área da região sombreada.

A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
Considere a curva definida por . Dê uma equação cartesiana da curva;
Determine o domínio: