Considere a curva definida por gamma(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)^2), t > -1. Dê uma equação cartesiana da curva;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida de forma paramétrica por , onde . Nosso objetivo é encontrar uma equação cartesiana para essa curva, ou seja, relacionar y diretamente com x sem o parâmetro t. Para isso, vamos precisar manipular as equações paramétricas para eliminar o t.

Passo 2

Vamos começar observando as duas componentes da curva:
Nosso objetivo é expressar t em termos de x usando a primeira equação e, em seguida, substituir esse valor de t na segunda equação para obter y em função de x.

Passo 3

Primeiro, isolemos t na equação de x:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Para eliminar o logaritmo natural, aplicamos a função exponencial nos dois lados da equação:
Sabemos que , então:
Agora, isolamos t:

Passo 5

Com o valor de t expresso em função de x, substituímos na equação de y:
Substituindo t:
Simplificando:

Passo 6

Simplificamos a expressão exponencial:
Portanto:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

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