Considere a curva definida por . Dê uma equação cartesiana da curva;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida de forma paramétrica por , onde . Nosso objetivo é encontrar uma equação cartesiana para essa curva, ou seja, relacionar diretamente com sem o parâmetro . Para isso, vamos precisar manipular as equações paramétricas para eliminar o .

Passo 2

Vamos começar observando as duas componentes da curva:
Nosso objetivo é expressar em termos de usando a primeira equação e, em seguida, substituir esse valor de na segunda equação para obter em função de .

Passo 3

Primeiro, isolemos na equação de :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Para eliminar o logaritmo natural, aplicamos a função exponencial nos dois lados da equação:
Sabemos que , então:
Agora, isolamos :

Passo 5

Com o valor de expresso em função de , substituímos na equação de :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Simplificamos a expressão exponencial:
Portanto:

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

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Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .
Encontre a área da região sombreada.

Determine o domínio:
Calcule: , onde (lembrando que .