Considere a curva definida por
. Dê uma equação cartesiana da curva;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida de forma paramétrica por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar uma equação cartesiana para essa curva, ou seja, relacionar
diretamente com
sem o parâmetro
. Para isso, vamos precisar manipular as equações paramétricas para eliminar o
.
Passo 2
Vamos começar observando as duas componentes da curva:
Nosso objetivo é expressar
em termos de
usando a primeira equação e, em seguida, substituir esse valor de
na segunda equação para obter
em função de
.
Passo 3
Primeiro, isolemos
na equação de
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 4
Para eliminar o logaritmo natural, aplicamos a função exponencial nos dois lados da equação:
Sabemos que
, então:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Com o valor de
expresso em função de
, substituímos na equação de
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Simplificamos a expressão exponencial:
Portanto:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Encontre a área da região sombreada.
Determine o domínio:
Calcule:
, onde
(lembrando que
.