Determine o domínio:
Passo 1
Beleza, vamos determinar o domínio da função
. Estamos trabalhando com funções que envolvem raiz quadrada, logaritmo e exponencial. Para descobrir o domínio, precisamos garantir que todas essas partes sejam válidas, ou seja, que as expressões dentro da raiz, do logaritmo e da exponencial sejam definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, então
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Isso acontece quando ambos, numerador e denominador, são positivos ou ambos são negativos.
-
Caso 1:
e -
Caso 2:
e
Então, a solução para a desigualdade é
ou
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte do logaritmo:
. O argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:
Resolvendo isso:
Passo 5
Por último, a exponencial
está sempre definida para qualquer valor real de
, então não impõe restrições ao domínio.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem todas as condições acima:
- Da raiz quadrada:
ou - Do logaritmo:
Vamos identificar a interseção dessas condições:
-
Intervalo
: - Dentro disso, também precisamos que
.
- Dentro disso, também precisamos que
-
Intervalo
: - Não há sobreposição com
, pois .
- Não há sobreposição com
Então, a única parte que satisfaz ambas as condições é:
Resposta
O domínio da função
é
.
Exercícios relacionados
Considere a curva definida por
. Dê uma equação cartesiana da curva;
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.
Calcule:
, onde
(lembrando que
.
Seja
contínua. Prove que existe
tal que
, pata todo
.