Determine o domínio:

Passo 1

Beleza, vamos determinar o domínio da função . Estamos trabalhando com funções que envolvem raiz quadrada, logaritmo e exponencial. Para descobrir o domínio, precisamos garantir que todas essas partes sejam válidas, ou seja, que as expressões dentro da raiz, do logaritmo e da exponencial sejam definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada: . Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Além disso, o denominador não pode ser zero, então .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade . Isso acontece quando ambos, numerador e denominador, são positivos ou ambos são negativos.
  • Caso 1: e
  • Caso 2: e
Então, a solução para a desigualdade é ou .

Passo 4

Agora, vamos para a parte do logaritmo: . O argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:
Resolvendo isso:

Passo 5

Por último, a exponencial está sempre definida para qualquer valor real de , então não impõe restrições ao domínio.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem todas as condições acima:
  1. Da raiz quadrada: ou
  2. Do logaritmo:
Vamos identificar a interseção dessas condições:
  • Intervalo :
    • Dentro disso, também precisamos que .
  • Intervalo :
    • Não há sobreposição com , pois .
Então, a única parte que satisfaz ambas as condições é:

Resposta

O domínio da função é .

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Considere a curva definida por . Dê uma equação cartesiana da curva;
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .
Calcule: , onde (lembrando que .
Seja contínua. Prove que existe tal que , pata todo .