Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a área da região sombreada onde os gráficos das funções polares e se intersectam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em coordenadas polares, especialmente a fórmula para calcular áreas em coordenadas polares.

Passo 2

O próximo passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que satisfazem a igualdade.

Passo 3

Lembrando que , podemos reescrever a equação como:
Vamos reorganizar para:
Fatorando :
Isso nos leva a encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 4

Resolvendo , podemos testar valores típicos de no intervalo de a . Após resolver, obtemos os pontos de interseção nos valores de e .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Observamos que está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Usaremos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui, e , com e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os termos para facilitar a integração.

Passo 8

Expandindo:
é
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integrando termo a termo:
Portanto:

Passo 10

Calculando nos limites:
Para :
Para , todos os termos são zero.

Passo 11

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A área da região sombreada é .

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A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .
Considere a curva definida por . Dê uma equação cartesiana da curva;