Encontre a área da região sombreada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a área da região sombreada onde os gráficos das funções polares
e
se intersectam. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em coordenadas polares, especialmente a fórmula para calcular áreas em coordenadas polares.
Passo 2
O próximo passo é encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade.
Passo 3
Lembrando que
, podemos reescrever a equação como:
Vamos reorganizar para:
Fatorando
:
Isso nos leva a encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 4
Resolvendo
, podemos testar valores típicos de
no intervalo de
a
. Após resolver, obtemos os pontos de interseção nos valores de
e
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de
a
. Observamos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Usaremos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os termos para facilitar a integração.
Passo 8
Expandindo:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
, todos os termos são zero.
Passo 11
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A área da região sombreada é
.