A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
(b) Determine a soluçäo geral da equapio
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado apresenta uma equação diferencial que aparece no estudo da formação de nebulosas no sistema solar. A matéria envolve equações diferenciais e teorias relacionadas à existência e unicidade de soluções, além de integração para encontrar soluções gerais. Vamos precisar entender como analisar a região onde a solução é única e, depois, resolver a equação para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma solução única para uma equação diferencial. De acordo com o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se a função que define a equação diferencial e sua derivada parcial são contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
No nosso caso, a equação é:
Precisamos identificar onde a função do lado direito é contínua e onde sua derivada parcial em relação a
também é contínua.
Passo 3
Vamos analisar a função:
Para que
seja contínua:
-
O denominador
não pode ser zero, ou seja, . Isso implica que . -
O termo
está definido para .
Então, a função
é contínua quando
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade da derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, a derivada parcial existe e é contínua se
e
, pois o expoente negativo em
requer que
seja positivo para evitar divisão por zero ou números complexos.
Passo 5
Com essas condições, podemos concluir que a região no plano
onde a equação diferencial tem solução única é definida por:
Isso garante que tanto a função
quanto sua derivada parcial em relação a
são contínuas, atendendo aos requisitos do Teorema de Existência e Unicidade.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial:
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
Integrando o lado esquerdo:
Passo 8
Agora, integrando o lado direito:
Fazendo a substituição
, então
ou
:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, igualamos as integrais de ambos os lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à sexta potência para resolver para
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com
Encontre a área da região sombreada.
Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
, com
.