A seguinte equaçao diferencial aparece em trabalhos que estudam a scumulaçäo de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a regisio do plano tz onde é possivel garantir que esta equaçāo possui solugies únicas
(b) Determine a soluçäo geral da equapio

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado apresenta uma equação diferencial que aparece no estudo da formação de nebulosas no sistema solar. A matéria envolve equações diferenciais e teorias relacionadas à existência e unicidade de soluções, além de integração para encontrar soluções gerais. Vamos precisar entender como analisar a região onde a solução é única e, depois, resolver a equação para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma solução única para uma equação diferencial. De acordo com o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se a função que define a equação diferencial e sua derivada parcial são contínuas em uma região ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
No nosso caso, a equação é:
Precisamos identificar onde a função do lado direito é contínua e onde sua derivada parcial em relação a também é contínua.

Passo 3

Vamos analisar a função:
Para que seja contínua:
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja, . Isso implica que .
  2. O termo está definido para .
Então, a função é contínua quando e .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade da derivada parcial de em relação a :
Aqui, a derivada parcial existe e é contínua se e , pois o expoente negativo em requer que seja positivo para evitar divisão por zero ou números complexos.

Passo 5

Com essas condições, podemos concluir que a região no plano onde a equação diferencial tem solução única é definida por:
Isso garante que tanto a função quanto sua derivada parcial em relação a são contínuas, atendendo aos requisitos do Teorema de Existência e Unicidade.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial:
Primeiro, vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
Integrando o lado esquerdo:

Passo 8

Agora, integrando o lado direito:
Fazendo a substituição , então ou :
Substituindo :

Passo 9

Agora, igualamos as integrais de ambos os lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 10

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à sexta potência para resolver para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
com
Encontre a área da região sombreada.

Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: , com .