Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar a distância ao longo de uma curva. Precisamos saber como derivar funções e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva
entre
e
:
Essa fórmula basicamente soma pequenos segmentos da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
com relação a
:
A derivada de
é:
Mas como estamos ao quadrado na fórmula do comprimento de arco, o sinal não importa:
Passo 4
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. A integral de
é:
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular nos limites de
e
:
Para :
Para
Então:
Para
:
Então:
Resposta
O comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resolva as integrais indefinidas abaixo: