Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar a distância ao longo de uma curva. Precisamos saber como derivar funções e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva entre e :
Essa fórmula basicamente soma pequenos segmentos da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de com relação a :
A derivada de é:
Mas como estamos ao quadrado na fórmula do comprimento de arco, o sinal não importa:

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . A integral de é:
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular nos limites de e :
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

O comprimento de arco é:

Exercícios relacionados

Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resolva as integrais indefinidas abaixo: