Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral-1^0 2 x-e^x d x ;-2+1e

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente precisa calcular a integral definida de de até . Isso significa que vamos achar a área sob a curva dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integrais com derivadas. Basicamente, vamos encontrar uma função primitiva e depois avaliar nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma primitiva da função F'(x) = 2x - e^x . Uma primitiva integral 2x , dx = x^2 + C é uma função cuja derivada é a função original que estamos integrando.
integral -e^x , dx = -e^x + C
Para encontrar F(x) = x^2 - e^x , integramos cada termo separadamente:
  1. Integrando :
    Aqui, é a constante de integração, que a gente ignora quando vamos calcular a integral definida.
  2. Integrando :
Juntando tudo, uma primitiva de é:

Passo 3

Agora que temos a primitiva, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde integral-1^0 (2x - e^x) , dx = F(0) - F(-1) é a primitiva de . No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Vamos calcular F(0) = (0)^2 - e^0 = 0 - 1 = -1 e F(-1) = (-1)^2 - e^-1 = 1 - 1e :
  1. Calculando :
  2. Calculando :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão do Teorema Fundamental do Cálculo:
F(0) - F(-1) = -1 - (1 - 1e) = -1 -1 + 1e = -2 + 1e

Resposta

Portanto, a integral definida é:
integral-1^0 (2x - e^x) , dx = -2 + 1e

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