Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente precisa calcular a integral definida de de até . Isso significa que vamos achar a área sob a curva dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integrais com derivadas. Basicamente, vamos encontrar uma função primitiva e depois avaliar nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma primitiva da função . Uma primitiva é uma função cuja derivada é a função original que estamos integrando.
Para encontrar , integramos cada termo separadamente:
  1. Integrando :
    Aqui, é a constante de integração, que a gente ignora quando vamos calcular a integral definida.
  2. Integrando :
Juntando tudo, uma primitiva de é:

Passo 3

Agora que temos a primitiva, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz:
Onde é a primitiva de . No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Vamos calcular e :
  1. Calculando :
  2. Calculando :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão do Teorema Fundamental do Cálculo:

Resposta

Portanto, a integral definida é:

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Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais a seguir, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: