Resolva as integrais indefinidas abaixo: integral x-4x^2-5 x+6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x-4x^2-5x+6 ,dx. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em frações mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral x - 4(x - 2)(x - 3) ,dx
Para facilitar a integração, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
x - 4(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum (x - 2)(x - 3) para eliminar as frações:
x - 4 = A(x - 3) + B(x - 2)
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A e B.

Passo 5

Para encontrar A e B, podemos escolher valores específicos para x que simplificam a equação:
  • Se x = 3:
    3 - 4 = A(0) + B(3 - 2) Rightarrow -1 = B(1) Rightarrow B = -1
  • Se x = 2:
    2 - 4 = A(2 - 3) + B(0) Rightarrow -2 = A(-1) Rightarrow A = 2

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
x - 4(x - 2)(x - 3) = 2x - 2 - 1x - 3
Então, a integral fica:
integral ( 2x - 2 - 1x - 3 ) ,dx

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 2x - 2 ,dx - integral 1x - 3 ,dx
Sabemos que a integral de 1x - a ,dx é ln|x - a| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
2 ln|x - 2| - ln|x - 3| + C

Resposta

A integral integral x-4x^2-5x+6 ,dx é igual a 2, ln|x - 2| - ln|x - 3| + C, onde C é a constante de integração.

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