Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em frações mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Para facilitar a integração, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A e B.

Passo 5

Para encontrar A e B, podemos escolher valores específicos para x que simplificam a equação:
  • Se x = 3:
  • Se x = 2:

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de é , onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra da integral:

Resposta

A integral é igual a , onde C é a constante de integração.

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