Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em frações mais simples que possamos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Para facilitar a integração, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A e B.
Passo 5
Para encontrar A e B, podemos escolher valores específicos para x que simplificam a equação:
-
Se x = 3:
-
Se x = 2:
Passo 6
Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de
é
, onde C é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a regra da integral:
Resposta
A integral
é igual a
, onde C é a constante de integração.
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