Resolva as integrais indefinidas abaixo: integral x^2+x+1(x+1)^2(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
integral x^2+x+1(x+1)^2(x+2), dx
Esse exercício entra no conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar frações mais simples que, quando somadas, dão a fração original, e então integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x^2+x+1(x+1)^2(x+2) = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx+2 em frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 + x + 1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2 para eliminar as frações, teremos:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda A(x^2 + 3x + 2) = A x^2 + 3A x + 2A :
    Bx + 2B
  2. Expanda C(x^2 + 2x + 1) = C x^2 + 2C x + C :
    A x^2 + 3A x + 2A + Bx + 2B + C x^2 + 2C x + C
  3. Expanda (A + C) x^2 + (3A + B + 2C) x + (2A + 2B + C) :
Agora, some todas as partes:
Combine termos semelhantes:

Passo 5

Comparando os coeficientes do lado esquerdo A + C = 1 com os do lado direito 3A + B + 2C = 1 , temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para 2A + 2B + C = 1 :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
    A = 1 - C
  2. Substituindo 3(1 - C) + B + 2C = 1 3 - 3C + B + 2C = 1 B - C = -2 B = C - 2 na segunda equação:
    2(1 - C) + 2(C - 2) + C = 1 2 - 2C + 2C - 4 + C = 1 (2 - 4) + (-2C + 2C) + C = 1 -2 + C = 1 C = 3
  3. Substituindo A = 1 - 3 = -2 B = 3 - 2 = 1 e na terceira equação:
  4. Agora, encontramos . Então:

Passo 7

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
x^2+x+1(x+1)^2(x+2) = -2x+1 + 1(x+1)^2 + 3x+2

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -2x+1, dx + integral 1(x+1)^2, dx + integral 3x+2, dx

Passo 9

Vamos integrar cada parte:
  1. integral 1(x+1)^2, dx = -1x+1
  2. Aqui, reconhecemos que é a derivada de . Então:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos:
-2 ln|x+1| - 1x+1 + 3 ln|x+2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-2, ln|x+1| - 1x+1 + 3, ln|x+2| + C

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