Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
Esse exercício entra no conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar frações mais simples que, quando somadas, dão a fração original, e então integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações, teremos:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
-
Expanda
: -
Expanda
: -
Expanda
:
Agora, some todas as partes:
Combine termos semelhantes:
Passo 5
Comparando os coeficientes do lado esquerdo
com os do lado direito
, temos o seguinte sistema de equações:
-
Para
: -
Para
: -
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
Da primeira equação:
-
Substituindo
na segunda equação: -
Substituindo
e na terceira equação: -
Agora, encontramos
. Então:
Passo 7
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Vamos integrar cada parte:
-
-
Aqui, reconhecemos que
é a derivada de . Então: -
Passo 10
Juntando todas as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a:
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Um cilindro circular reto ê inscrito em um cone com altura
raio da base
. Encontre o maior volume possível desse cilindro.
O conjunto
é uma partição de
. Obter a relação de equivalência associada.
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas: