Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
Esse exercício entra no conteúdo de frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações complexas em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar identificar frações mais simples que, quando somadas, dão a fração original, e então integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações, teremos:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda :
  2. Expanda :
  3. Expanda :
Agora, some todas as partes:
Combine termos semelhantes:

Passo 5

Comparando os coeficientes do lado esquerdo com os do lado direito , temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  4. Agora, encontramos . Então:

Passo 7

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Vamos integrar cada parte:
  1. Aqui, reconhecemos que é a derivada de . Então:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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