Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível e o gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e superfícies. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como representá-las, além de entender como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as curvas de nível. Essas curvas são lugares geométricos onde a função
assume valores constantes. Ou seja, para cada valor
, a curva de nível é definida por
. Isso nos ajuda a visualizar como a função se comporta em diferentes alturas.
Passo 3
Vamos encontrar as curvas de nível para nossa função
. Vamos definir
, então temos:
Isso é a equação de uma elipse, porque os coeficientes de
e
são diferentes. Para desenhar essas curvas, escolhemos diferentes valores de
e resolvemos para
em termos de
.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, suponha que
.
Para
:
Essa é uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 e
.
Para
:
Outra elipse maior.
E assim por diante para
:
Cada valor maior de
aumenta o tamanho da elipse.
Passo 5
Agora, vamos esboçar essas curvas no plano
. Cada elipse estará centrada na origem (0,0) e se expandirá à medida que
aumenta. As elipses ficarão mais largas na direção de
e mais estreitas na direção de
, pois o coeficiente de
é menor que o de
.
Passo 6
Para o gráfico da função
, estamos falando de uma superfície no espaço tridimensional. Essa superfície é um paraboloide elíptico, que se abre para cima. Cada curva de nível que desenhamos é como um “corte” horizontal dessa superfície a diferentes alturas
.
Passo 7
Vamos imaginar o gráfico: no eixo
, cada ponto
representa o valor da função
. Conforme
e
aumentam,
cresce rapidamente, formando uma superfície suave e curva.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses centradas na origem que se expandem conforme o valor de
aumenta. O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima, representando a superfície formada por todos os pontos
onde
.
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