Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível e o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco de cálculo multivariável, especificamente sobre curvas de nível e superfícies. Para isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como representá-las, além de entender como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as curvas de nível. Essas curvas são lugares geométricos onde a função assume valores constantes. Ou seja, para cada valor , a curva de nível é definida por . Isso nos ajuda a visualizar como a função se comporta em diferentes alturas.

Passo 3

Vamos encontrar as curvas de nível para nossa função . Vamos definir , então temos:
Isso é a equação de uma elipse, porque os coeficientes de e são diferentes. Para desenhar essas curvas, escolhemos diferentes valores de e resolvemos para em termos de .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores de para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, suponha que .
Para :
Essa é uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 e .
Para :
Outra elipse maior.
E assim por diante para :
Cada valor maior de aumenta o tamanho da elipse.

Passo 5

Agora, vamos esboçar essas curvas no plano . Cada elipse estará centrada na origem (0,0) e se expandirá à medida que aumenta. As elipses ficarão mais largas na direção de e mais estreitas na direção de , pois o coeficiente de é menor que o de .

Passo 6

Para o gráfico da função , estamos falando de uma superfície no espaço tridimensional. Essa superfície é um paraboloide elíptico, que se abre para cima. Cada curva de nível que desenhamos é como um “corte” horizontal dessa superfície a diferentes alturas .

Passo 7

Vamos imaginar o gráfico: no eixo , cada ponto representa o valor da função . Conforme e aumentam, cresce rapidamente, formando uma superfície suave e curva.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses centradas na origem que se expandem conforme o valor de aumenta. O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima, representando a superfície formada por todos os pontos onde .

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