Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i) r(t) = (2 t + 1, 7 - 3 t), -1 <= t <= 2
ii) r(t) = t i + 2/3(2t + 1)^(3/2) j, 0 <= t <= 4
iii) r(t) = (cos(3t), sen(3t), 2t^(3/2)), 0 <= t <= 2
iv) r(t) = 7i + t j + t^2 k, 1 <= t <= 3
v) r(t) = (t^3, 3t^2, 6t), -1 <= t <= 2
vi) r(t) = (ln(cos(t)), cos(t), sen(t)), -pi/6 <= t <= pi/3
vii) r(t) = (ln(t), t^2 / 2, raiz(2) * t), 1 <= t <= 4
viii) r(t) = (2t cos(t), 2t sen(t), 2 raiz(2) t^2), 0 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro item do exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de de a . Esse tipo de problema está no campo do cálculo de comprimentos de curvas no Cálculo Integral, e para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se , então o comprimento da curva de até é dado por:
Aqui, é a derivada da função vetorial , e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de :

Passo 5

Com o módulo constante, podemos substituir na fórmula do comprimento:

Passo 6

Finalmente, calculamos o valor numérico:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é aproximadamente unidades.

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