Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro item do exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de
a
. Esse tipo de problema está no campo do cálculo de comprimentos de curvas no Cálculo Integral, e para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se
, então o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de
:
Passo 5
Com o módulo constante, podemos substituir na fórmula do comprimento:
Passo 6
Finalmente, calculamos o valor numérico:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades.