Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro item do exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de de a . Esse tipo de problema está no campo do cálculo de comprimentos de curvas no Cálculo Integral, e para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se , então o comprimento da curva de até é dado por:
Aqui, é a derivada da função vetorial , e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de :

Passo 5

Com o módulo constante, podemos substituir na fórmula do comprimento:

Passo 6

Finalmente, calculamos o valor numérico:

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é aproximadamente unidades.

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Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
Para quais valores das constantes e que tornarão o campo
é conservativo?
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
a)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) ;