Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а)
;
а)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testar a convergência utilizando o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que
. Substituindo isso na série, temos:
Agora, a série se torna
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série do tipo
converge se:
- Os termos
são positivos, -
é uma sequência monótona decrescente, -
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, verificamos se
. Como
e
para
, temos que
.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é decrescente. Observamos que
e, conforme
aumenta, tanto
quanto
aumentam, o que faz com que
também aumente. Portanto,
não é decrescente.
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é atendido.
Resposta
A série
é divergente.