Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) sumn=2^infty(-1)^n n ln (1 / n);

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testar a convergência utilizando o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que sumn=2^infty(-1)^n n ln (1n) = sumn=2^infty(-1)^n n (-ln(n)) = sumn=2^infty(-1)^n+1 n ln(n) . Substituindo isso na série, temos:
Agora, a série se torna .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série do tipo converge se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é uma sequência monótona decrescente,
  3. .
No nosso caso, .

Passo 4

Primeiro, verificamos se . Como e para , temos que .

Passo 5

Agora, vamos ver se é decrescente. Observamos que e, conforme aumenta, tanto quanto aumentam, o que faz com que também aumente. Portanto, não é decrescente.

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de limn to infty n ln(n) = infty quando tende ao infinito:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é atendido.

Resposta

A série é divergente.

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