Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) sumn=0^infty (-2)^n5^n-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a soma da série infinita e descobrir se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para deixar mais fácil de trabalhar. A expressão é (-2)^n5^n-2 = (-2)^n times 5^2 - n = (-2/5)^n times 5^2 = 25 times (-25)^n .
Podemos reescrever isso assim:
sumn=0^infty 25 times (-25)^n = 25 sumn=0^infty (-25)^n
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral a = 1 (porque quando n=0, (-25)^0 = 1) , onde r = -25 é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso:

Passo 4

Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão |-25| = 25 < 1 for menor que 1, ou seja, .
Aqui,
Então, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma S = a1 - r de uma série geométrica convergente é:
S = 11 - (-25) = 11 + 25 = 175 = 57
Substituindo os valores que temos:
Stotal = 25 times 57 = 1257
Mas lembre-se que a série original estava multiplicada por 25, então:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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