Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a soma da série infinita e descobrir se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para deixar mais fácil de trabalhar. A expressão é .
Podemos reescrever isso assim:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso:
Passo 4
Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Aqui,
Então, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma de uma série geométrica convergente é:
Substituindo os valores que temos:
Mas lembre-se que a série original estava multiplicada por 25, então: