Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a soma da série infinita e descobrir se ela converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para deixar mais fácil de trabalhar. A expressão é .
Podemos reescrever isso assim:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso:

Passo 4

Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Aqui,
Então, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série convergente. A fórmula para a soma de uma série geométrica convergente é:
Substituindo os valores que temos:
Mas lembre-se que a série original estava multiplicada por 25, então:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

Exercícios relacionados

Para quais valores das constantes e que tornarão o campo
é conservativo?
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) .
Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
a)