Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial
é um campo gradiente. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função potencial
tal que
é o gradiente de
, ou seja,
. Para isso, vamos entender um pouco sobre campos gradientes e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é um campo gradiente se existe uma função escalar
tal que:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos começar encontrando a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
. Derivando
em relação a
:
Integrando isso em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Atualizando a função
:
Agora, usamos a terceira equação
. Derivando
em relação a
:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituindo
na função
:
Portanto, encontramos uma função potencial
tal que
.
Resposta
O campo vetorial
é um campo gradiente, e uma função potencial correspondente é
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
b)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) ;
а)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
b) ;
b)