Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o campo vetorial é um campo gradiente. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função potencial tal que é o gradiente de , ou seja, . Para isso, vamos entender um pouco sobre campos gradientes e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é um campo gradiente se existe uma função escalar tal que:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos começar encontrando a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação . Derivando em relação a :
Integrando isso em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Atualizando a função :
Agora, usamos a terceira equação . Derivando em relação a :
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituindo na função :
Portanto, encontramos uma função potencial tal que .

Resposta

O campo vetorial é um campo gradiente, e uma função potencial correspondente é .

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Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
а) ;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
b) ;