Para quais valores das constantes a e b que tornarão o campo
F = (3 x^2 + 3 y^2 z sen(x z)) i + (a y cos(x z) + b z) j + (3 x y^2 sen(x z) + 5 y) k
é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos descobrir para quais valores das constantes e esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e aplicar alguns conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
onde é uma função potencial. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) do campo vetorial é zero. Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de e igualar a zero.

Passo 3

O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar , e no nosso campo :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,

Passo 5

Agora, para que o campo seja conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero:
  1. Para :
  1. Já vimos que para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos analisar as equações resultantes:
  1. Da componente :
Como , e podem não ser zero para todo e , a única forma de a equação ser verdadeira para todos os pontos é que:
  1. Substituindo na equação da componente :
Simplificando:

Resposta

Os valores que tornam o campo conservativo são e .

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