Para quais valores das constantes e que tornarão o campo
é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos descobrir para quais valores das constantes e esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e aplicar alguns conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
onde é uma função potencial. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) do campo vetorial é zero. Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de e igualar a zero.

Passo 3

O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar , e no nosso campo :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,
  1. Para a componente :
Então,

Passo 5

Agora, para que o campo seja conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero:
  1. Para :
  1. Já vimos que para :
  1. Para :

Passo 6

Vamos analisar as equações resultantes:
  1. Da componente :
Como , e podem não ser zero para todo e , a única forma de a equação ser verdadeira para todos os pontos é que:
  1. Substituindo na equação da componente :
Simplificando:

Resposta

Os valores que tornam o campo conservativo são e .

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Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) .
Encontre a expressão apropriada de para que .
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)