Para quais valores das constantes
e
que tornarão o campo
é conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos descobrir para quais valores das constantes
e
esse campo é conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e aplicar alguns conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
onde
é uma função potencial. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) do campo vetorial é zero. Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e igualar a zero.
Passo 3
O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
- Para a componente
:
Então,
Passo 5
Agora, para que o campo
seja conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero:
- Para
:
- Já vimos que para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos analisar as equações resultantes:
- Da componente
:
Como
,
e
podem não ser zero para todo
e
, a única forma de a equação ser verdadeira para todos os pontos é que:
- Substituindo
na equação da componente :
Simplificando:
Resposta
Os valores que tornam o campo
conservativo são
e
.
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Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) .
а)
Encontre a expressão apropriada de
para que
.
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
b)
Calcule o comprimento de cada uma das curvas dadas abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)