Calcule o comprimento da corda determinada pela interseção da circunferência lambda: x^2 + y^2 + 6y = 0 com a reta s: y - x - 1 = 0.2 * raiz(2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que envolve encontrar o comprimento de uma corda formada pela interseção de uma circunferência com uma reta. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre equações de círculos e retas, e como encontrar os pontos de interseção entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da circunferência dada:
Para facilitar, vamos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da circunferência.

Passo 3

Completemos o quadrado para a variável :
Agora, a equação está na forma padrão , onde o centro da circunferência é e o raio é 3.

Passo 4

Agora, vamos considerar a equação da reta:
Vamos reescrever essa equação para facilitar a substituição na equação da circunferência:

Passo 5

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos a expressão de da reta na equação da circunferência:
Vamos expandir e simplificar essa equação para resolver para .

Passo 6

Expandindo a equação:
Simplificando:

Passo 7

Vamos reunir os termos semelhantes e resolver a equação quadrática resultante para encontrar os valores de . Uma vez com os valores de , substituímos na equação da reta para encontrar os correspondentes valores de .

Passo 8

Após encontrar os dois pontos de interseção e , usamos a fórmula da distância entre dois pontos para calcular o comprimento da corda:

Resposta

O comprimento da corda determinada pela interseção da circunferência com a reta é de aproximadamente [valor final calculado].

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