Calcule o comprimento da curva

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício quer. Temos uma curva definida por , onde varia de a . A pergunta é: qual é o comprimento dessa curva? Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por no intervalo é:
Isso significa que precisamos derivar e em relação a , elevar essas derivadas ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar tudo de a .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 5

Podemos simplificar colocando o 36 em evidência dentro da raiz:

Passo 6

Então, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando para a variável original :

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto para o parâmetro dado: , sen
Esboce a curva que é traço de
Calcule o comprimento da curva polar
Calcule o comprimento da curva , sen