Calcule o comprimento da curva alpha(t) = (1 + 3t^2, 4 + 2t^3), t in [0, 1]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício quer. Temos uma curva definida por , onde t varia de 0 a 1. A pergunta é: qual é o comprimento dessa curva? Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento L de uma curva parametrizada por no intervalo [a, b] é:
Isso significa que precisamos derivar x(t) e y(t) em relação a t, elevar essas derivadas ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar tudo de 0 a 1.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t):

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 5

Podemos simplificar colocando o 36 em evidência dentro da raiz:

Passo 6

Então, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando para a variável original t:

Resposta

O comprimento da curva é .

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