Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto
para o parâmetro dado:
, sen
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por , e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem a curva para achar a direção da reta tangente, além de identificar as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto
substituindo
na parametrização da curva:
Então, o ponto onde vamos encontrar a reta tangente é
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a direção da reta tangente. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade da curva:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada em
para encontrar o vetor direção no ponto de tangência:
Portanto, a direção da reta tangente é dada pelo vetor
.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde
é o parâmetro da reta.
Passo 6
Para obter a equação na forma
, vamos calcular a inclinação
da reta tangente:
Sabendo que a reta passa pelo ponto
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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