Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto alpha(t0) para o parâmetro dado: α(t) = cos(t) + sen(2t), sen t + cos(2t), t0 = 0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por , e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem a curva para achar a direção da reta tangente, além de identificar as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto substituindo na parametrização da curva:
Então, o ponto onde vamos encontrar a reta tangente é .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a direção da reta tangente. Para isso, vamos calcular a derivada de alpha(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade da curva:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada em para encontrar o vetor direção no ponto de tangência:
Portanto, a direção da reta tangente é dada pelo vetor .

Passo 5

Com o ponto de tangência (1, 1) e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde s é o parâmetro da reta.

Passo 6

Para obter a equação na forma , vamos calcular a inclinação m da reta tangente:
Sabendo que a reta passa pelo ponto (1, 1), usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resolvendo para y:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 1) é:

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