Calcule o comprimento da curva polar

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o comprimento da curva polar definida por no intervalo de de 0 a . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, , e precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar :
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo na integral:
Os limites de integração também mudam quando fazemos a substituição:
Quando :
Quando :
Então, a integral agora é:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 8

Vamos simplificar :
Então, o comprimento da curva fica:

Resposta

O comprimento da curva é:

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto para o parâmetro dado: , sen
Calcule o comprimento da curva , sen
Calcule o comprimento da curva polar