Calcule o comprimento da curva polar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o comprimento da curva polar definida por
no intervalo de
de 0 a
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
, e precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo na integral:
Os limites de integração também mudam quando fazemos a substituição:
Quando
:
Quando
:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 8
Vamos simplificar
:
Então, o comprimento da curva fica:
Resposta
O comprimento da curva é:
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para o parâmetro dado:
, sen
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, sen
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