Calcule o comprimento da curva α(t) = cos(t) + t sen(t), sen t - t cos(t), t in [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo do comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar das derivadas das funções que definem a curva e aplicar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:
Para encontrar o comprimento da curva, precisamos das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, a derivada de :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, aplicamos a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, é só calcular a integral de de 0 a :

Resposta

O comprimento da curva é .

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