Calcule o comprimento da curva
, sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento da curva definida por no intervalo
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo do comprimento de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar das derivadas das funções que definem a curva e aplicar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:
Para encontrar o comprimento da curva, precisamos das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, a derivada de
:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, aplicamos a fórmula do comprimento da curva paramétrica:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, é só calcular a integral de
de 0 a
:
Resposta
O comprimento da curva é
.
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Determine se a série a seguir converge ou diverge. Justifique.