Calcule o comprimento da curva polar r = e^(2 theta), theta in [0, pi]

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o comprimento da curva polar dada por para entre 0 e . Pra resolver isso, vamos usar cálculo de curvas em coordenadas polares, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A gente usa:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é:

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